Question

Cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC), kẻ đường cao AH, trung tuyến AM. Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt đường thằng BC tại D. Chứng minh:

a)AB là tia phần giác của DAH

b)BH.CD=BD.CH

Answer 1

a) Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

mà \(BM=\dfrac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)

nên AM=BM

Xét ΔMBA có MA=MB(cmt)

nên ΔMBA cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)

\(\Leftrightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)(hai góc ở đáy)

\(\Leftrightarrow\widehat{MAB}=\widehat{HBA}\)(1)

Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH\(\perp\)BC tại H)

nên \(\widehat{HBA}+\widehat{HAB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)(2)

Ta có: \(\widehat{BAM}+\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\)(tia AB nằm giữa hai tia AM,AD)

hay \(\widehat{BAM}+\widehat{BAD}=90^0\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{BAH}=\widehat{BAD}\)

mà tia AB nằm giữa hai tia AH,AD

nên AB là tia phân giác của \(\widehat{DAH}\)(đpcm)