a) Ta có: BC=HB+HC(H nằm giữa B và C)
hay BC=9+16=25(cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=9\cdot25=225\\AC^2=16\cdot25=400\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{225}=15cm\\AC=\sqrt{400}=20cm\end{matrix}\right.\)
Vậy: AB=15cm; AC=20cm
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
\(\Leftrightarrow BC=\frac{AB\cdot AC}{AH}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(HB^2=EB\cdot BA\)
\(\Leftrightarrow EB=\frac{HB^2}{AB}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(HC^2=CF\cdot AC\)
\(\Leftrightarrow CF=\frac{HC^2}{AC}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AH^2=HB\cdot HC\)
Ta có: \(EB\cdot CF=\frac{HB^2}{AB}\cdot\frac{HC^2}{AC}\)
\(=\frac{\left(HB\cdot HC\right)^2}{AB\cdot AC}=\frac{AH^4}{AB\cdot AC}\)
\(\Leftrightarrow BC\cdot BE\cdot CF=\frac{AH^4}{AB\cdot AC}\cdot\frac{AB\cdot AC}{AH}=AH^3\)(đpcm)
c) Ta có: \(\frac{BE}{CF}=\frac{HB^2}{AB}:\frac{HC^2}{AC}=\frac{HB^2}{AB}\cdot\frac{AC}{HC^2}=\left(\frac{BH}{CH}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}\)(1)
Ta có: \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\frac{BH}{CH}\)(2)
Thay (2) vào (1), ta được:
\(\frac{BE}{CF}=\left(\frac{AB^2}{AC^2}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}\)
\(=\frac{AB^4}{AC^4}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^3}{AC^3}\)(đpcm)
