Lời giải:
Áp dụng định lý Pitago: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\)
Với $BD$ là phân giác trong góc $B$, sử dụng tính chất đường phân giác:
\(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{DC+AD}=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{8}\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{8}=\frac{3}{8}\Rightarrow AD=3\)
Mặt khác:
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền
\(\Rightarrow AM=MB=MC=\frac{BC}{2}=5\)
Xét tam giác $ABM$ có phân giác $BI$, sử dụng t/c đường phân giác ta có:
\(\frac{AI}{IM}=\frac{AB}{BM}=\frac{6}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{AI}{IM+AI}=\frac{AI}{AM}=\frac{6}{11}\Rightarrow AI=\frac{6}{11}.AM=\frac{30}{11}\)
\(\Rightarrow IM=AM-AI=5-\frac{30}{11}=\frac{25}{11}\)
