Cho tam giác ABC vuông tại A gọi I, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi D là điểm đối xưng với M qua N.
a) Chứng minh MN // AB, tứ giác ABMD là hình bình hành.
b) Chứng minh tứ giác AMCD là hình thoi.
c) Gọi O là giao điểm của AM và BD, chứng minh các đường AM, BD, IN đồng quy .
d) Tính tỷ số : \(\frac{BC^2}{AM^2+BN^2+CI^2}\)
a) *Chứng minh MN//AB
Xét ΔBAC có
M là trung điểm của BC(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MN//AB và \(MN=\frac{AB}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
*Chứng minh ABMD là hình bình hành
Ta có: \(MN=\frac{AB}{2}\)
⇒2MN=AB
mà 2MN=MD(do N là trung điểm của MD)
nên AB=MD
Ta có: MN//AB(cmt)
mà D∈MN(do M và D đối xứng nhau qua N)
nên MD//AB
Xét tứ giác ABMD có
MD=AB(cmt) và MD//AB(cmt)
nên ABMD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Xét ΔBAC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(do M là trung điểm của BC)
nên \(AM=\frac{BC}{2}=BM=CM\)
Xét ΔMNA và ΔMNC có
MA=MC(cmt)
MN chung
AN=NC(do N là trung điểm của AC)
Do đó; ΔMNA=ΔMNC(c-c-c)
⇒\(\widehat{MNA}=\widehat{MNC}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{MNA}+\widehat{MNC}=180\) độ(kề bù)
nên \(\widehat{MNA}=\widehat{MNC}=\frac{180độ}{2}=90độ\)
⇒\(\widehat{MNA}=90độ\)
⇒MN⊥AC hay MD⊥AC
Xét tứ giác AMCD có
N là trung điểm của đường chéo MD(do M và D đối xứng với nhau qua N)
N là trung điểm của đường chéo AC(gt)
Do đó: AMCD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
mà MD⊥AC(cmt)
nên AMCD là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Xét ΔBAC có
I là trung điểm của AB(gt)
M là trung điểm của BC(gt)
Do đó: IM là đường trung bình của ΔBAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒IM//AC và \(IM=\frac{AC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình cúa tam giác)
mà \(AN=\frac{AC}{2}\)(do N là trung điểm của AC)
nên IM//AN và IM=AN
Xét tứ giác AIMN có IM//AN(cmt) và IM=AN(cmt)
nên AIMN là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒hai đường chéo IM và AM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường(định lí hình bình hành)(1)
mà \(BD\cap AM=\left\{O\right\}\)(gt)(2)
nên \(IN\cap AM\cap BD=\left\{O\right\}\)
hay IN,AM,BD đồng quy(đpcm)
