Câu 1 : Cho tam giác ABC cân tại A . GỌi các điểm P,Q,M lần lượt là trung điểm của AB,AC,BC.
1.Chứng minh tứ giác PQCM là hình bình hành
2.TRên tia đối của tia PM lấy điểm N sao cho PM=PN. Chứng minh NB vuông góc với BC
3.Đường thẳng đi qua điểm Q và song song với PC cắt BC tại F. CHứng minh N,Q,F thẳng hàng .
Câu 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=2x^2+4y^2+4x^2y-10x^2-4y+2037\)
Câu 1:
1. Vì $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với $BC$
$\Rightarrow PQ=\frac{1}{BC}=MC$ và $PQ\parallel BC$ hay $PQ\parallel MC$
Tứ giác $PQCM$ có cặp cạnh đối $PQ$ và $MC$ vừa song song vừa bằng nhau nên $PQCM$ là hình bình hành.
2.Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao. Hay $AM\perp BC$
Tứ giác $NAMB$ có 2 đường chéo $MN, AB$ cắt nhau tại trung điểm $P$ của mỗi đường nên $NAMB$ là hình bình hành.
Hình bình hành $NAMB$ có 1 góc vuông ($\widehat{AMB}$) nên $NAMB$ là hình vuông.
$\Rightarrow NB\perp BM$ hay $NB\perp BC$ (đpcm)
3.
Vì $PQCM$ là hình bình hành nên $PM\parallel QC; PM=QC$. Mà $P,M,N$ thẳng hàng; $PM=PN$ nên $PN\parallel QC$ và $PN=QC$
Tứ giác $PNQC$ có cặp cạnh đối $PN, QC$ song song và bằng nhau nên $PNQC$ là hình bình hành.
Do đó $PC\parallel QN(1)$
Mà $PC\parallel QF$ (2)
Từ $(1);(2)\Rightarrow Q,N,F$ thẳng hàng (đpcm)
Câu 2: Biểu thức không có min. Bạn xem lại biểu thức xem viết đã đúng chưa?
Câu 2 (sau khi sửa):
Bài này em chỉ cần tìm cách nhóm các biến vào thành hằng đẳng thức sao cho phù hợp là được:
\(B=2x^4+4y^2+4x^2y-10x^2-4y+2037\)
\(=(x^4+4y^2+4x^2y)+x^4-10x^2-4y+2037\)
\(=(x^2+2y)^2-2(x^2+2y)+x^4-8x^2+2037\)
\(=(x^2+2y)^2-2(x^2+2y)+1+(x^4-8x^2+16)+2020\)
\(=(x^2+2y-1)^2+(x^2-4)^2+2020\geq 2020\)
Vậy $B_{\min}=2020$. Giá trị này đạt được tại \(\left\{\begin{matrix} x^2+2y-1=0\\ x^2-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\pm 2; y=-1,5\)
