Cho tam giác ABC vuông tại A , đường trung tuyến AM . Gọi H là điểm đối xứng của M qua AB . E là giao điểm của MH với AB.Gọi K là điểm đối xứng của M qua AC . F là giao điểm của MK với AC.
a. Xác định dạng của các tứ giác:AEMF , AMBH , AMCK
b. Chứng minh H đối xứng với K qua A
c. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEMF là hình vuông
a) Ta có: M và H đối xứng nhau qua AB(gt)
nên AB là đường trung trực của MH
⇔AB⊥MH tại trung điểm của MH
mà AB cắt MH tại E
nên E là trung điểm của MH và ME⊥AB tại E
hay \(\widehat{AEM}=90^0\)
Ta có: M và K đối xứng nhau qua AC(gt)
nên AC là đường trung trực của MK
⇒AC⊥MK tại trung điểm của MK
mà AC cắt MK tại F
nên F là trung điểm của MK và AF⊥KM tại F
hay \(\widehat{AFM}=90^0\)
Xét tứ giác AEMF có
\(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AB, F∈AC)
\(\widehat{AEM}=90^0\)(cmt)
\(\widehat{AFM}=90^0\)(cmt)
Do đó: AEMF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Ta có: ME⊥AB(cmt)
AC⊥AB(ΔABC vuông tại A)
Do đó: ME//AC(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC trong ΔABC)
ME//AC(cmt)
Do đó: E là trung điểm của AB(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)
Ta có: MF⊥AC(cmt)
AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)
Do đó: MF//AB(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC trong ΔABC)
MF//AB(cmt)
Do đó: F là trung điểm của AC(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)
nên \(AM=\frac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(BM=CM=\frac{BC}{2}\)(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC trong ΔABC)
nên AM=BM=CM
Xét tứ giác AMBH có
E là trung điểm của đường chéo AB(cmt)
E là trung điểm của đường chéo MH(cmt)
Do đó: AMBH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AMBH có AM=BM(cmt)
nên AMBH là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Xét tứ giác AMCK có
F là trung điểm của đường chéo KM(cmt)
F là trung điểm của đường chéo AC(cmt)
Do đó: AMCK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AMCK có AM=CM(cmt)
nên AMCK là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
b) Ta có: AMBH là hình thoi(cmt)
nên AM=AH
Xét ΔAMH có AM=AH(cmt)
nên ΔAMH cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
Ta có: ΔAMH cân tại A(cmt)
mà AB là đường cao ứng với cạnh đáy MH(AB⊥MH)
nên AB là đường phân giác ứng với cạnh MH(Định lí tam giác cân)
hay \(\widehat{MAB}=\widehat{HAB}\)
Ta có: AMCK là hình thoi(cmt)
nên AM=AK
Xét ΔAMK có AM=AK(cmt)
nên ΔAMK cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
Ta có: ΔAMK cân tại A(cmt)
mà AC là đường cao ứng với cạnh đáy KM(AC⊥KM)
nên AC là đường phân giác ứng với cạnh KM(Định lí tam giác cân)
hay \(\widehat{KAC}=\widehat{MAC}\)
Ta có: tia AM nằm giữa hai tia AB,AC
nên \(\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}\)
hay \(\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=90^0\)
Ta có: \(\widehat{KAH}=\widehat{KAC}+\widehat{MAC}+\widehat{MAB}+\widehat{HAB}\)
\(=2\cdot\widehat{MAC}+2\cdot\widehat{MAB}\)
\(=2\cdot\left(\widehat{MAC}+\widehat{MAB}\right)\)
\(=2\cdot90^0=180^0\)
hay K,A,H thẳng hàng(1)
Ta có: AM=AK(cmt)
mà AH=AK(cmt)
nên AM=AH(2)
Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của KH
hay H đối xứng với K qua A(đpcm)
c) Hình chữ nhật AEMF trở thành hình vuông thì AE=AF
mà \(AE=\frac{AB}{2}\)(E là trung điểm của AB)
và \(AF=\frac{AC}{2}\)(F là trung điểm của AC)
nên AB=AC
Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện AB=AC thì AEMF là hình vuông
