Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC .
a, Cho BH =4cm , CH=9cm .
i, Tính độ dài đoạn thẳng DE và số đo góc HAC ( làm tròn đến độ )
ii, Tính giá trị của biểu thức \(P=\dfrac{2\sin B+3\cos C}{\tan B-3\cot C}\)
iii, Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N . Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm CH . Tính diện tích tứ giác DENM .
b , Chứng minh AD.AB=AE.AC
c, Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt BC tại I . CHỨng minh I là trung điểm của BC
d, tam giác ABC có thêm điều kiện gì để diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE ?
a: \(AH=\sqrt{4\cdot9}=6\left(cm\right)\)
Xét tứ giác ADHE có góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ
nên ADHE là hình chữ nhật
=>AH=DE=6cm
Xét ΔAHC vuông tại H có tan HAC=HC/HA=9/6=3/2
nên góc HAC=56 độ
ii: \(P=\left(2\cdot\dfrac{AC}{BC}+3\cdot\dfrac{AC}{BC}\right):\left(tanB-3tanB\right)\)
\(=\dfrac{5AC}{BC}:\left(-2tanB\right)=5\cdot\dfrac{AC}{BC}:\dfrac{-2AC}{AB}\)
\(=-5\cdot\dfrac{AC}{BC}\cdot\dfrac{AB}{AC}=-5\cdot\dfrac{AB}{BC}=-5\cdot\dfrac{\sqrt{4\cdot13}}{13}=-5\cdot\dfrac{2\sqrt{13}}{13}=-\dfrac{10\sqrt{13}}{13}\)
b: \(AD\cdot AB=AH^2\)
\(AE\cdot AC=AH^2\)
Do đó: \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
c: góc IAC+góc AED=90 độ
=>góc IAC+góc AHD=90 độ
=>góc IAC+góc B=90 độ
mà góc C+góc B=90 độ
nên góc IAC=góc C
=>ΔIAC cân tại I
góc IAC+góc IAB=90 độ
góc B+góc C=90 độ
mà góc IAC=góc C
nên góc IAB=góc B
=>ΔIAB cân tại I
=>IA=IB=IC
=>I là trung điểm của BC
