Question

cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D; E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Trên tia đối của tia HD lấy M sao cho HD = MD, Trên tia đối của tia EH lấy N sao cho NE = EH

a) Chứng minh AM=AN và M,A,N thẳng hàng

b)BM // CN

c) BC = BM + CN

Answer 1

a: Xét ΔAHM có 

AD là đường cao

AD là đường trung tuyến

DO đó:ΔAHM cân tại A

mà AB là đường trung tuyến

nên AB là phân giác của góc HAM(1)

Xét ΔAHN có 

AE là đường cao

AE là đường trung tuyến

Do đó:ΔAHN cân tại A

mà AE là đường cao

nên AE là đường phân giác(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MAN}=\widehat{MAH}+\widehat{NAH}\)

\(=2\cdot\left(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

hay M,A,N thẳng hàng

Ta có: AH=AM

AN=AH

DO đó: AM=AN

b: Xét ΔAHB và ΔAMB có

AH=AM

\(\widehat{HAB}=\widehat{MAB}\)

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔAMB

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{AMB}=90^0\)

hay BM\(\perp\)MN(3)

Xét ΔAHC và ΔANC có

AH=AN

\(\widehat{HAC}=\widehat{NAC}\)

AC chung

Do đó; ΔAHC=ΔANC

SUy ra: \(\widehat{AHC}=\widehat{ANC}=90^0\)

hay CN\(\perp\)NM(4)

Từ (3) và (4) suy ra BM//CN

c: BC=BH+CH

mà BH=BM

và CH=CN

nên BC=BM+CN