Lời giải:
Gọi \((AB,BC,AC)=(c,a,b)\)
Theo định lý Pitago có \(a^2=b^2+c^2\)
Ta cần cm:
\((c+b+a)(c+b-a)\geq 4AH^2\Leftrightarrow (b+c)^2-a^2\geq 4AH^2\)
\(\Leftrightarrow (b+c)^2-b^2-c^2\geq 4AH^2\)
\(\Leftrightarrow bc\geq 2AH^2\)
Sử dụng hệ thức lượng quen thuộc trong tam giác vuông:
\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow \frac{1}{AH^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}\)
\(\Leftrightarrow AH^2=\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\)
BĐT cần cm trở thành: \(bc\geq 2\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\Leftrightarrow b^2+c^2\geq 2bc\) (luôn đúng theo BĐT AM-GM)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi tam giác $ABC$ vuông cân.
