a. Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta\)ABC (\(\widehat{A}\) =90o )
Ta có: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)
\(\Rightarrow\) AH = 7,2 (cm)
Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta\)ABC (\(\widehat{A}\) =90o )
Ta có: BC2 = AB2 + AC2
\(\Rightarrow\) BC = 15 (cm)
Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta\)ABC (\(\widehat{A}\) =90o )
Ta có: AB2 = HB.BC
\(\Rightarrow\) HB = 5,4 (cm)
b. Áp dụng tỉ số lượng giác vào \(\Delta\)ABC (\(\widehat{A}\) =90o )
Ta có: \(\sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{C}\) \(\simeq\) 36o52'
Xét \(\Delta\) CAH (\(\widehat{H}\) =90o) có \(\widehat{C}\) + \(\widehat{CAH}\) = 90o
\(\Rightarrow\) \(\widehat{CAH}\) \(\simeq\) 53o8'
c.Gọi D là giao của AH và MN
Tứ giác AMHN có3 góc vuông \(\Rightarrow\) AMHN là hcn
\(\Rightarrow\) H là TĐ của AH và MN ( t/c đ/chéo hcn)
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) ADN cân ở D \(\Rightarrow\) \(\widehat{DAN}=\widehat{AND}\)
\(\Delta\) ABC có AK là trung tuyến ( K là trung điểm )
\(\Rightarrow\) BK=CK=AK=\(\dfrac{BC}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) AKC cân ở K \(\Rightarrow\) \(\widehat{KAC}\) = \(\widehat{KCA}\)
Mà \(\widehat{DAN}\) + \(\widehat{KCA}\) = 90o
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DNA}\) + \(\widehat{KAC}\) = 90o
\(\Rightarrow\) AK \(\perp\) MN (đpcm)
