Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác BD. Kẻ DE vuông góc với BC tại E. Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF=CE. Chứng minh rằng:

a) △ABD = △EBD

b) △CDF là tam giác cân

c) E, D, F thẳng hàng và BD ⊥ CF

d) 2(ad+af)>cf

Answer 1

a). Xét tam giác ABD vuông tại A và tam giác EBD vuông tại E có:

         BD là cạnh chung

         Góc ABD = góc EBD (đường phân giác BD)

=> tam giác ABD=tam giác EBD (cạnh huyền-góc nhọn)

Answer 2

a) Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABE}\))

Do đó: ΔABD=ΔEBD(cạnh huyền-góc nhọn)

Answer 3

b) Ta có: ΔABD=ΔEBD(cmt)

nên DA=DE(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔADF vuông tại A và ΔEDC vuông tại E có

AF=EC(gt)

DA=DE(cmt)

Do đó: ΔADF=ΔEDC(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: DF=DC(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔDFC có DF=DC(Cmt)

nên ΔDFC cân tại D(Định nghĩa tam giác cân)

Answer 4

c) Ta có: ΔADF=ΔEDC(cmt)

nên \(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{EDC}+\widehat{ADE}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{ADE}+\widehat{ADF}=180^0\)

hay F,D,E thẳng hàng(Đpcm)

Answer 5

c)Ta có: BA+AF=BF(A nằm giữa B và F)

BE+EC=BC(E nằm giữa B và C)

mà BA=BE(ΔABD=ΔEBD)

và AF=EC(cmt)

nên BF=BC

Ta có: BF=BC(cmt)

nên B nằm trên đường trung trực của FC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: DF=DC(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của FC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của FC

hay BD\(\perp\)CF(Đpcm)