Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, BD là đường phân giác, gọi O là giao điểm của AH và BD

CM : HO/OA = AD/DC

Answer 1

-Ta có: \(\widehat{BAH}=90^0-\widehat{ABC}\)( xét \(\Delta BAH\)) (1)

-Mặt khác: \(\widehat{C}=90^0-\widehat{ABC}\)(xét \(\Delta ABC\)) (2)

(1),(2)\(\Rightarrow\)\(\widehat{BAH}=\widehat{C}\)

Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta BAO\)

có: \(\widehat{BAH}=\widehat{C}\)(cmt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\)(p/g)

\(\Rightarrow\)\(\Delta BCD\wr\Delta BAO\)(g-g)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BO}=\dfrac{CD}{AO}\) (3)

tương tự\(\Rightarrow\Delta BAD\wr\Delta BHO\)(g-g)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{HO}=\dfrac{BD}{BO}\) (4)

(3),(4)\(\Rightarrow\dfrac{HO}{AO}=\dfrac{AD}{CD}\)(ĐPCM)

Answer 2

Ta có: BD là phân giác góc B

=> góc ABO= góc DBC

Ta có AH vuông góc BC

=>góc AHC=90 độ

=>góc ACH+ góc HAC=90 độ (1)

mà góc BAH+ góc HAC=90 độ (2)

từ (1) và (2) => góc BAH= góc ACH

Xét tam giác BAO và tam giác BCD có:

góc ABO =góc DBC (cmt)

góc BAH= góc ACH (cmt)

=>tam giác BAO đồng dạng tam giác BCD (g-g)

=>OA/CD= OB/BD (I)

Xét tam giác BAD và tam giác BHO có:

góc ABO= góc DBC (cmt)

góc BAD= góc BHO (= 90 độ)

=> Tam giác BAD đồng dạng tam giác BHO (g-g)

=>OH/AD= OB/BD (II)

từ (I) và (II) => OA/CD= OH/AD =>OA.AD=CD.OH

hay OH/OA= AD/DC