Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) đường cao AH . Đường tròn tâm I đường kính AH cắt các đoạn AB,AC lần lượt tại M,N . Gọi O là trung điểm của BC , D là giao điểm của MN và OA
1. Cmr
a. AM.AB=AN.AC
b. Tg BMNC nội tiếp
2. Cmr
a. tam giác ADI đồng dạng tg AHO
b. 1/AD=1/HB+1/HC
3. Gọi P là giao điểm của BC và MN , K là giao điểm thứ hai của AP và đường tròn đường kính AH . Cmr góc BKC=90
1.
a. Ta có \(\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN)=\(90^0-\widehat{NHC}=\widehat{BCA}\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{BCA}\)
Xét △AMN và △ACB có
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{AMN}=\widehat{BCA}\)(cmt)
Suy ra △AMN \(\sim\) △ACB(g-g)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)
b) Xét tứ giác BMNC có \(\widehat{AMN}=\widehat{BCA}\)\(\Rightarrow\) tứ giác BMNC nội tiếp
2.
a) Ta có △ABC vuông tại C có AO là đường trung tuyến\(\Rightarrow OA=OB=OC=\frac{BC}{2}\)\(\Rightarrow\)△OAC cân tại O hay \(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{MNA}=\widehat{OCA}+\widehat{MNA}=\widehat{OCA}+\widehat{MHA}=\widehat{OCA}+\widehat{NHC}=90^0\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{MNA}=90^0\Rightarrow\widehat{ADN}=90^0\Rightarrow\widehat{IDA}=90^0\)
Xét △ADI và △AHO có
\(\widehat{IDA}=\widehat{AHO}=90^0\)
\(\widehat{A}\) chung
Suy ra △ADI \(\sim\) △AHO(g-g)
b) Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{MAN}=\widehat{HNA}=\widehat{AMH}=90^0\Rightarrow\) tứ giác AMHN là hình chữ nhật\(\Rightarrow AI=\frac{AH}{2}\)
Ta có △ADI \(\sim\) △AHO\(\Rightarrow\frac{AH}{AD}=\frac{AO}{AI}=\frac{\frac{BC}{2}}{\frac{AH}{2}}=\frac{BC}{AH}\Rightarrow\frac{1}{AD}=\frac{BC}{AH^2}=\frac{HC+BH}{BH.HC}=\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC}\)
Vậy \(\frac{1}{AD}=\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC}\)
3. Ta có tứ giác BMNC nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{PBM}=\widehat{MNC}\Rightarrow\widehat{PBM}+\widehat{MNA}=\widehat{MNC}+\widehat{MNA}=180^0\)(1)
Ta có tứ giác AKMN nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{PKM}=\widehat{MAN}\left(2\right)\)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow\widehat{PBM}+\widehat{PKM}=180^0\Rightarrow\) tứ giác PBMK nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{PKB}=\widehat{PMB}=\widehat{AMN}=\widehat{BCA}\Rightarrow\) tứ giác BKAC nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{BKC}=\widehat{BAC}=90^0\)
