Question

Cho tam giác ABC vuông ở A,M là trung điểm AC.Vẽ MD vuông góc với BC(D thuộc BC).CMR:AB²=BD²-CD²

Answer 1

Vì M là trung điểm của AC (gt)=> 2MC = AC=> http://2MC.AC = AC\(^2\)Vì tam giác ABC vuông tại A (gt) => góc BAC = 90\(^o\)Vì MD vuông góc vói BC (gt) => góc MDC = 90\(^o\) Xét tam giác MDC và tam giác BAC có : (góc MDC = góc BAC = 90\(^o\))góc C chung=> tam giác MDC đồng dạng với tam giác BAC (g.g)=> \(\frac{MC}{BC}\)=\(\frac{DC}{AC}\)=> http://MC.AC = BC.DC => http://2MC.AC = 2BC.DC=> AC\(^2\) = 2BC.DC=> BC\(^2\) - AC\(^2\) = BC\(^2\) - 2BC.DCXét tam giác ABC vuông tại A có: AB\(^2\) + AC\(^2\) = BC\(^2\) (Định lý Py-Ta-Go)=> BC\(^2\) - AC\(^2\) = AB\(^2\)=> AB\(^2\) = BC\(^2\) - 2BC.DC=> AB\(^2\) = BC.(BC-CD-CD) = BC.(BD-CD)= (BD + DC)(BD - DC)=BD\(^2\)-CD\(^2\) (hằng đẳng thức đáng nhớ)

Answer 2

Nối B với M

Ta có:Áp dụng định lí Py ta gô vào các tam giác vuông ABM(vuông tại A),tam giác BDM(vuông tại D),tam giác MDC(vuông tại D)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2+AM^2=BM^2\\BD^2+MD^2=BM^2\\CD^2+MD^2=MC^2\Rightarrow CD^2=MC^2-MD^2\end{matrix}\right.\)

Khi đó ta có:\(AB^2+AM^2=BM^2\Rightarrow AB^2=BM^2-AM^2=\left(BD^2+MD^2\right)-MC^2=BD^2-\left(MC^2-MD^2\right)=BD^2-CD^2\left(đpcm\right)\)