Lời giải:
Ta biết trong 1 tam giác, 3 đường trung tuyến đồng quy tại một điểm. Do đó trung tuyến $CP$ cắt $MP,BN$ tại $Q$ tại $G$ hay $P,G,C$ thẳng hàng.
Có: \(\frac{BP}{PA}=\frac{MB}{MC}(=1)\) nên theo định lý Ta-let đảo thì \(PM\parallel AC\)
hay \(\Rightarrow QM\parallel NC; PQ\parallel AN\)
Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let:
\(\triangle BNC; QM\parallel NC\Rightarrow \frac{QM}{NC}=\frac{BQ}{BN}\)
\(\triangle ABN; PQ\parallel AN\Rightarrow \frac{PQ}{AN}=\frac{BQ}{BN}\)
\(\Rightarrow \frac{QM}{NC}=\frac{PQ}{AN}\). Mà \(AN=NC\Rightarrow QM=QP\)
\(\Rightarrow QM=\frac{1}{2}PM\)
Do đó: \(\frac{S_{GMQ}}{S_{GPM}}=\frac{QM}{PM}=\frac{1}{2}(1)\)
\(\frac{S_{GPM}}{S_{MPC}}=\frac{PG}{PC}=\frac{1}{3}(2)\) (theo tính chất trung tuyến và trọng tâm)
\(\frac{S_{MPC}}{S_{CPB}}=\frac{MC}{BC}=\frac{1}{2}(3)\)
\(\frac{S_{CPB}}{S_{CAB}}=\frac{PB}{AB}=\frac{1}{2}(4)\)
Từ \((1);(2);(3);(4)\Rightarrow \frac{S_{GPM}}{S_{CAB}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{24}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=24S_{GMQ}=24.10=240(cm^2)\)
