Question

Cho tam giác ABC, qua điểm A vẽ xy // BC. Từ M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB và AC, các đường thẳng này cắt xy tại D,E. Gọi O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng: A,M,O thẳng hàng.

Answer 1

Ta có: xy//BC => AD//BM. Mà AB//DM => tứ giác ADMB là hình bình hành => AD=BM (2 cạnh đối nhau) (1)

xy//BC => AE//CM. Mà AC//EM => tứ giác AEMC là hình bình hành => AE=CM (2 cạnh đối nhau) (2)

Từ (1) và (2) => AD+AE=BM+CM hay DE=BC

Do xy//BC \(\Rightarrow\widehat{EDO}=\widehat{CBO};\widehat{DEO}=\widehat{BCO}\)

Ta dễ chứng minh \(\Delta DOE=\Delta BOC\left(g-c-g\right)\Rightarrow OD=OB\)

Ta dễ chứng minh \(\Delta AOD=\Delta MOB\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{AOD}=\widehat{MOB}\)

\(\Rightarrow\widehat{AOD}+\widehat{DOM}=\widehat{MOB}+\widehat{DOM}\Rightarrow\widehat{AOD}+\widehat{DOM}=180^0\) (do O, B, D thẳng hàng) \(\Rightarrow\widehat{AOM}=180^0\)

=> A,M,O thẳng hàng

Vậy A, M, O thẳng hàng

Answer 2

Ta có: xy//BC => AD//BM. Mà AB//DM => tứ giác ADMB là hình bình hành => AD=BM (2 cạnh đối nhau) (1)

xy//BC => AE//CM. Mà AC//EM => tứ giác AEMC là hình bình hành => AE=CM (2 cạnh đối nhau) (2)

Từ (1) và (2) => AD+AE=BM+CM hay DE=BC

Do xy//BC ⇒EDOˆ=CBOˆ;DEOˆ=BCOˆ⇒EDO^=CBO^;DEO^=BCO^

Ta dễ chứng minh ΔDOE=ΔBOC(g−c−g)⇒OD=OBΔDOE=ΔBOC(g−c−g)⇒OD=OB

Ta dễ chứng minh ΔAOD=ΔMOB(c−g−c)⇒AODˆ=MOBˆΔAOD=ΔMOB(c−g−c)⇒AOD^=MOB^

⇒AODˆ+DOMˆ=MOBˆ+DOMˆ⇒AODˆ+DOMˆ=1800⇒AOD^+DOM^=MOB^+DOM^⇒AOD^+DOM^=1800 (do O, B, D thẳng hàng) ⇒AOMˆ=1800⇒AOM^=1800

=> A,M,O thẳng hàng

Vậy A, M, O thẳng hàng