a) Xét ΔCAB có
P là trung điểm của BC(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: PN là đường trung bình của ΔCAB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒PN//AB và \(PN=\frac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà H∈PN và \(PN=\frac{PH}{2}\)(N là trung điểm của PH)
nên AB//PH và AB=PH
Xét tứ giác ABPH có
AB//PH(cmt)
AB=PH(cmt)
Do đó: ABPH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒AH//BP(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABPH)
hay AH//BC
Xét ΔBAC có
M là trung điểm của AB(gt)
P là trung điểm của BC(gt)
Do đó: MP là đường trung bình của ΔBAC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MP//AC và \(MP=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
hay K∈MP và \(MP=\frac{PK}{2}\)(M là trung điểm của KP)
nên KP//AC và KP=AC
Xét tứ giác ACPK có
KP//AC(cmt)
KP=AC(cmt)
Do đó: ACPK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒AK//CP(Hai cạnh đối trong hình bình hành AKPC)
hay AK//BC
Ta có: AK//BC(cmt)
AH//BC(cmt)
mà AK,AH có điểm chung là A
nên A,K,H thẳng hàng
Ta có: AHPB là hình bình hành(cmt)(4)
nên AH=BP(hai cạnh đối trong hình bình hành AHPB)(1)
Ta có: AKPC là hình bình hành(cmt)
nên AK=PC(Hai cạnh đối trong hình bình hành AKPC)(2)
Ta có: P là trung điểm của BC(gt)
nên PB=PC(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AK=AH(5)
Từ (4) và (5) suy ra A là trung điểm của KH(đpcm)
b) Ta có: \(MP=\frac{AC}{2}\)(cmt)
mà \(AN=\frac{AC}{2}\)(N là trung điểm của AC)
nên MP=AN(đpcm)
Ta có: \(PN=\frac{AB}{2}\)(cmt)
mà \(AM=\frac{AB}{2}\)(M là trung điểm của AB)
nên PN=AM(Đpcm)
c) Xét tứ giác AMPN có
MP//AN(MP//AC, N∈AC)
MP=AN(cmt)
Do đó: AMPN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà I là trung điểm của MN(gt)
nên I là trung điểm của AP
hay A,I,P thẳng hàng(đpcm)
