a)Xét △ABE có:
\(\widehat{ABE}+\widehat{BEA}+\widehat{EAB}=180^0\left(1\right)\)
Xét △ACF có:
\(\widehat{ACF}+\widehat{CFA}+\widehat{FAC}=180^0\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\widehat{ABE}+\widehat{BEA}+\widehat{EAB}=\)\(\widehat{ACF}+\widehat{CFA}+\widehat{FAC}\)
Mà ta có:
\(\widehat{BEA}=\widehat{CFA}=90^0\)
\(\widehat{EAB}=\widehat{FAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)
Xét △ABE và △ACF có:
\(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\left(cmt\right)\)
BE=CF (gt)
\(\widehat{BEA}=\widehat{CFA}\left(=90^0\right)\)
⇒△ABE = △ACF (gcg)
⇒AB=AC (2 cạnh tương ứng)
⇒△ABC cân tại A (đpcm)
b)Theo bài ra, ta có:
BF; BC tỉ lệ với 3; 5
\(\Rightarrow\frac{BF}{3}=\frac{BC}{5}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BF=3k\\BC=5k\end{matrix}\right.\)
Áp dụng định lí Pytago vào △BFC vuông tại F, ta có:
\(BC^2=BF^2+FC^2\Rightarrow\left(5k\right)^2=\left(3k\right)^2+8^2\Rightarrow25k^2=9k^2+64\Rightarrow25k^2-9k^2=64\Rightarrow16k^2=64\Rightarrow k^2=4\Rightarrow k=2\left(k>0\right)\)\(\Rightarrow BC=5k=5.2=10\left(cm\right)\)
c)Gọi giao điểm của AO và EF là H
Xét △AFO vuông tại F và △AEO vuông tại E có:
AO chung
AF=AE (△ACF = △ABE )
⇒△AFO =△AEO (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow\widehat{FAO}=\widehat{EAO}\)(2 góc tương ứng)
Xét △AFH và △AEH có:
AF=AE (△ACF = △ABE )
\(\widehat{FAH}=\widehat{EAH}\left(cmt\right)\)
AH chung
⇒△AFH= △AEH (cgc)
⇒\(\widehat{AHF}=\widehat{AHE}=90^0\) và FH=EH
⇒AO là đường trung trực của EF (đpcm)
