Question

Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng :

a ) Nếu góc A = 90^o thì MA = 1/2BC

b ) Nếu MA = 1/2BC thì góc A = 90^o

Answer 1

a) Trên tia đối của MA lấy D sao cho MA=MD

Xét tam giác MAC và tam giác MDB :

AM=DM

Góc AMC = Góc BMD

CM=BM

=> Tam giác MAC = tam giác MDB ( c.g.c)

=> AB=BD

Góc ACM= Góc MBD (2 góc tương ứng ) , mà đây là 2 góc so le trong nên AC//BD

Do đó góc CAB + góc DAB=180 độ ( trong cùng phía )

Mà góc CAB = 90 độ nên góc DAB=90 độ

Xét tam giác DAB = tam giác CAB ( c.g.c) và có AD = BC

Mà AD=2MA nên MA=1/2BC

Answer 2

Nếu MA = 1/2BC thì :

Tam giác MAB cân tại M do MA = MB = 1/2BC

Do đó góc MAB = góc CBA

Tam giác MAC cân tại M do MA = MC = 1/2 BC

Do đó góc MAC = góc BCA

=> Góc MAB + góc MAC = góc CBA + góc BCA

=> Góc CAB = Góc CBA + góc BCA

Mà tổng 3 góc này là 180 độ nên góc CAB = 90 độ