Question

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c. Cho các chiều cao tương ứng là h_a, h_b, h_c. Biết rằng a+h_a= b+h_b = c +h_c. CMR tam giác ABC đều

Answer 1

Gọi S là diện tích tam giác

\(a+h_a=b+h_b\)

\(\Leftrightarrow a+\dfrac{2S}{a}=b+\dfrac{2S}{b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+2S\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)-\dfrac{2S\left(a-b\right)}{ab}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(1-\dfrac{2S}{ab}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab-2S\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\ab=2S\end{matrix}\right.\)

Nếu ab = 2S thì tam giác ABC vuông. Như vậy khi chứng minh tương tự thì tam giác ABC có 2 góc vuông (vô lí).

Vậy a = b

Tương tự b = c

Suy ra a = b = c => đpcm