Question

Cho tam giác ABC có AB>AC đường cao AH

a.Chứng minh rằng AB²-AC²=BH²-CH²

b.Lấy M∈AH.Chứng minh rằng AB²-AC²=BM²-CM²

Answer 1

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔACH vuông tại H, ta được:

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

Ta có: \(AB^2-AC^2\)

\(=AH^2+HB^2-\left(AH^2+HC^2\right)\)

\(=AH^2+BH^2-AH^2-CH^2\)

\(=BH^2-CH^2\)(đpcm)(1)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔMBH vuông tại H, ta được:

\(MB^2=MH^2+BH^2\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔMCH vuông tại H, ta được:

\(MC^2=MH^2+HC^2\)

Ta có: \(BM^2-CM^2\)

\(=MH^2+BH^2-\left(MH^2+CH^2\right)\)

\(=MH^2+BH^2-MH^2-CH^2\)

\(=BH^2-CH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AB^2-AC^2=BM^2-CM^2\)(đpcm)