Question

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ đường cao BM và CN (M thuộc AC, N thuộc AB). Gọi I là giao điểm của BM và CN

Chứng minh rằng:

a) T/g AMB đồng dạng t/g ANC

b) \(\frac{Samn}{Sabc}=\frac{MN^2}{BC^2}\)

c) MI.IB=CI.IN

Answer 1

a) Xét ΔAMB và ΔANC có

\(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{BAM}\) chung

Do đó: ΔAMB∼ΔANC(g-g)

b) Ta có: ΔAMB∼ΔANC(cmt)

⇒\(\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC}\)

hay \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)

Xét ΔAMN và ΔABC có

\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAMN∼ΔABC(c-g-c)

⇒\(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\left(\frac{MN}{BC}\right)^2=\frac{MN^2}{BC^2}\)(tỉ số diện tích giữa hai tam giác đồng dạng)

c) Xét ΔINB vuông tại N và ΔIMC vuông tại M có

\(\widehat{NIB}=\widehat{MIC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔINB∼ΔIMC(góc nhọn)

⇒\(\frac{IN}{IM}=\frac{IB}{IC}\)

hay \(MI\cdot IB=CI\cdot IN\)(đpcm)