a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AH chung
Do đó: ΔABH=ΔACH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
b) Xét ΔANG và ΔCNK có
AN=CN(N là trung điểm của AC)
\(\widehat{ANG}=\widehat{CNK}\)(hai góc đối đỉnh)
GN=KN(gt)
Do đó: ΔANG=ΔCNK(c-g-c)
⇒\(\widehat{GAN}=\widehat{KCN}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{GAN}\) và \(\widehat{KCN}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên AG//CK(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
c) Ta có: ΔABH=ΔACH(cmt)
⇒BH=CH(hai cạnh tương ứng)
mà B,H,C thẳng hàng
nên H là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(H là trung điểm của BC)
BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(N là trung điểm của AC)
AH\(\cap\)BN={G}
Do đó: G là trực tâm của ΔABC(tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
⇒\(BG=\frac{2}{3}\cdot BN\)(1)
Ta có: BG+GN=BN(G nằm giữa B và N)
⇔\(GN=BN-BG=BN-\frac{2}{3}BN=\frac{1}{3}BN\)
mà GN=NK(gt)
nên \(NK=\frac{1}{3}BN\)
Ta có: GN+KN=GK(N nằm giữa G và K)
hay \(GK=\frac{1}{3}BN+\frac{1}{3}BN=\frac{2}{3}BN\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra BG=GK
mà B,G,K thẳng hàng(B,G,N,K thẳng hàng)
nên G là trung điểm của BK(đpcm)
