1) Xét \(\Delta ABH,\Delta ACH\) có :
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^{^O}\right)\)
\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)
\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (ΔABC cân tại A)
=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cạnh huyền -góc nhọn) (*)
2) Xét \(\Delta DBH,\Delta ECH\) có :
\(BD=EC\left(gt\right)\)
\(\widehat{DBH}=\widehat{ECH}\) (ΔABC cân tại A)
\(BH=HC\) [từ (*)]
=> \(\Delta DBH=\Delta ECH\left(c.g.c\right)\)
=> \(HD=HE\) (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta HDE\) có :
\(HD=HE\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta HDE\) cân tại H (đpcm)
3) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}D\in AB\\E\in AC\end{matrix}\right.\left(gt\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AD+BD\\AC=AE+EC\end{matrix}\right.\)
Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\BD=CE\end{matrix}\right.\left(gt\right)\)
Suy ra : \(AE=AE\)
Xét \(\Delta ADH,\Delta AEH\) có:
\(AD=AE\left(cmt\right)\)
\(AH:Chung\)
\(HD=DE\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ADH=\Delta AEH\left(c.c.c\right)\)
=> \(\widehat{DAH}=\widehat{EAH}\) (2 góc tương ứng)
=> AH là tia phân giác của \(\Delta HDE\)
Mà : \(\Delta HDE\) cân tại H
=> AH đồng thời là trung trực trong \(\Delta HDE\)
Suy ra : AH là trung trực của DE (đpcm)
* Bạn tự vẽ hình nha:
1.
Vì △ABC cân tại A
⇒ AB = AC ( đ/lí)
∠B = ∠C (đ/lí)
Xét 2 △ vuông △AHB và △AHC có:
AB = AC (cmt)
∠B = ∠C (cmt)
⇒ △AHB = △AHC ( cạnh huyền góc nhọn)
⇒ BH = HC ( 2 cạnh tương ứng)
