Câu hỏi của Hà Ngân Hà

Question

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R). Điểm I là trung điểm BC, lấy điểm E thuộc BC. Tia AE cắt (O) tại điểm thứ 2 D. Hạ CH vuông góc với AD, M là giao của CH và BD

a) Chứng minh AHIC...

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

a) Vì $ABC$ là tam giác cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AI$ đồng thời là đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$

Do đó: $\widehat{AIC}=90^0$

Xét tứ giác $AHIC$ có $\widehat{AIC}=\widehat{AHC}=90^0$ cùng nhìn cạnh $AC$ nên là tứ giác nội tiếp.

b)

Ta có: $\widehat{ACE}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

Mà: $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$  (góc nt chắn cung AC)

$\Rightarrow \widehat{ACE}=\widehat{ADC}$

Xét tam giác $ACE$ và $ADC$ có:

$\left\{\begin{matrix}
\text{chung góc A}\
\widehat{ACE}=\widehat{ADC}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ACE\sim \triangle ADC(g.g)$

$\Rightarrow \frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AE.AD=AC^2$

Ta có đpcm.

c)

Ta có: $\widehat{MDH}=\widehat{MDA}=\frac{1}{2}\text{cung AB}$

$\widehat{CDH}=\widehat{CDA}=\frac{1}{2}\text{cung AC}$

Mà $\text{cung AB}=\text{cung AC}\Rightarrow \widehat{MDH}=\widehat{CDH}$

Do đó $DH$ là phân giác góc $MDC$. Mà $DH$ đồng thời là đường cao nên tam giác $MDC$ cân tại $D$. Suy ra $DH$ cũng đồng thời là đường trung trực của $MC$

$A\in DH$ là trung trực $MC$ nên $AM=AC$

Do đó $M$ luôn nằm trên đường tròn tâm $A$ bán kính $AC$ cố định khi $E$ di chuyển.Câu trả lời: Lời giải:

a) Vì $ABC$ là tam giác cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AI$ đồng thời là đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$

Do đó: $\widehat{AIC}=90^0$

Xét tứ giác $AHIC$ có $\widehat{AIC}=\widehat{AHC}=90^0$ cùng nhìn cạnh $AC$ nên là tứ giác nội tiếp.

b)

Ta có: $\widehat{ACE}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

Mà: $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$  (góc nt chắn cung AC)

$\Rightarrow \widehat{ACE}=\widehat{ADC}$

Xét tam giác $ACE$ và $ADC$ có:

$\left\{\begin{matrix}
\text{chung góc A}\
\widehat{ACE}=\widehat{ADC}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ACE\sim \triangle ADC(g.g)$

$\Rightarrow \frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AE.AD=AC^2$

Ta có đpcm.

c)

Ta có: $\widehat{MDH}=\widehat{MDA}=\frac{1}{2}\text{cung AB}$

$\widehat{CDH}=\widehat{CDA}=\frac{1}{2}\text{cung AC}$

Mà $\text{cung AB}=\text{cung AC}\Rightarrow \widehat{MDH}=\widehat{CDH}$

Do đó $DH$ là phân giác góc $MDC$. Mà $DH$ đồng thời là đường cao nên tam giác $MDC$ cân tại $D$. Suy ra $DH$ cũng đồng thời là đường trung trực của $MC$

$A\in DH$ là trung trực $MC$ nên $AM=AC$

Do đó $M$ luôn nằm trên đường tròn tâm $A$ bán kính $AC$ cố định khi $E$ di chuyển.

Akai Haruma · Answer

d)

Trên tia đối của tia $DM$ lấy $T$ sao cho $DT=DC$

$S=AO\cap (O)$

$\Rightarrow P_{BCD}=BC+CD+BD=BC+BT$

$\Rightarrow P_{BCD}(\max)\Leftrightarrow BT_{\max}$

------------

$AS$ là đường kính của đường tròn $(O)$ nên $\widehat{ADS}=90^0$

$\Rightarrow AD\perp DS$

Mà $DA$ là phân giác của góc $BDC$ (theo phần c) nên $DS$ là phân giác góc kề của góc $BDC$ hay $DS$ là phân giác $\widehat{CDT}$

Mà tam giác $CDT$ cân tại $D$ nên $DS$ đồng thời là đường trung trực của $CT$

$\Rightarrow SC=ST$

Mặt khác dễ thấy $S$ cũng là điểm chính giữa cung $BC$ nên $SB=SC$

Do đó $S$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCT$

$\Rightarrow $ dây cung $BT$ max khi nó là đường kính của $(BCT)$

Điều này xảy ra khi $B,T,S$ thẳng hàng hay $D\equiv S$ hay $E$ trùng $I$

Hình vẽ:Câu trả lời: d)