Question

Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm M thuộc cạnh AB , lấy điểm N thuộc cạnh AC sao cho BM=CN .

a) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân

b) Cho góc B = 50 độ , tính góc ANM

c) Chứng minh MN song song với BC .

Answer 1

a) Ta có:

AM + BM = AB

AN + CN = AC

mà AB = AC; BM = CN

=> AM = AN

Do đó \(\Delta\)AMN cân tại A.

b) Vì \(\Delta\)ABC cân tại A

nên \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\)

Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác ta có:

\(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{BAC}\) = 180^o

=> 2\(\widehat{ABC}\) = 180^o - \(\widehat{BAC}\)

=> \(\widehat{ABC}\) = \(\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (1)

Do \(\Delta\)AMN cân tại A (câu a)

nên \(\widehat{AMN}\) = \(\widehat{ANM}\) (góc đáy)

Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác ta có:

\(\widehat{AMN}\) + \(\widehat{ANM}\) + \(\widehat{BAC}\) = 180^o

=> 2\(\widehat{AMN}\) = 180^o - \(\widehat{BAC}\)

=> \(\widehat{AMN}\) = \(\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{AMN}\) = 50^o

mà 2 góc ở vị trí đồng vị nên MN // BC (3)

Ta có: \(\widehat{AMN}\) = \(\widehat{ANM}\) = 50^o (chứng minh trên)

c) Đã chứng minh ở câu b (3).

Answer 2

Do \(\Delta ABC\) cân tại A nên AB=AC

Ta có AB=MB+AM

\(\Rightarrow AM=AB-MB\left(1\right)\)

Ta có AC=AN+NC

\(\Rightarrow AN=AC-NC\left(2\right)\)

Từ (1) và(2) mà AB=AC và BM=CN

suy ra AM=AN

\(\Rightarrow\Delta AMN\)cân tại A

b, Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác ta có

\(\widehat{A}+\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=180^0\)

\(\Rightarrow2ANM=180^0-\widehat{A}\left(3\right)\)

và \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Rightarrow2\widehat{B}=180^0-\widehat{A}\left(4\right)\)

Từ(3) và (4) ta có \(2\widehat{B}=2\widehat{ANM}\)

\(\Rightarrow2.50^0=2.\widehat{ANM}\)

\(\Rightarrow\widehat{ANM}=50^0\)

c, Ta có \(\widehat{ANM}=\widehat{AMN}=50^0\)(\(\Delta AMN\)cân)

Ta lại có \(\widehat{AMN}=50^0\)

\(\widehat{B}=50^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{B}\)

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên MN//BC

--> ĐPCM

Answer 3

a, ta có : AM + MB = AB

AN + NC = AC

mà BM = NC , AB = AC ( \(\Delta\) ABC cân tại A)

=>AM = AN

\(\Delta\)AMN có AM = AN => \(\Delta\) AMN cân tại A

b,\(\Delta\) ABC cân tại A => \(\widehat{B}\) = \(\widehat{C}\)

ta có : \(\widehat{A}\) + \(\widehat{C}\) + \(\widehat{B}\) = 180⁰ ( đ/lí tổng 3 góc trong 1 t/giác ) (1)

\(\Delta\)AMN cân tại A => \(\widehat{M}\) = \(\widehat{N}\)

ta có \(\widehat{A}\) + \(\widehat{M}\) + \(\widehat{N}\) = 180 ( đ/lí tổng 3 góc trong 1 t/giác) (2)

từ (1) và (2) => \(\widehat{B}\) = \(\widehat{C}\) = \(\widehat{M}\) = \(\widehat{N}\) mà \(\widehat{B}\) = 50⁰

=> \(\widehat{C}\) = \(\widehat{M}\) = \(\widehat{N}\) = 50⁰

c, \(\widehat{C}\) = \(\widehat{N}\) mà 2 góc này ở vị trí đồng vị =>MN // BC