Question

cho tam giác ABC cân tại A. kẻ AI vuông góc với BC ( I thuộc BC)

a) C/m: I là trung điểm của BC

b) Lấy điểm E thuộc BC, lấy điểm F thuộc AC sao cho AE = AF.C/m: tam giác IEF là tam giác cân

c) c/m: tam giác EBI= tam giác FCI

Answer 1

a) Xét \(\Delta ABI,\Delta ACI\) có :

\(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90^o\)

\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)

\(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\) (ΔABC cân tại A)

=> \(\Delta ABI=\Delta ACI\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BI = IC (2 cạnh tương ứng)

Do đó : I là trung điểm của BC.

b) Xét \(\Delta AEI,\Delta AFI\) có :

\(AE=AF\left(gt\right)\)

\(\widehat{EAI}=\widehat{FAI}\) (ΔABI = ΔACI)

\(AI:Chung\)

=> \(\Delta AEI=\Delta AFI\left(c.g.c\right)\)

=> \(IE=IF\) (2 cạnh tương ứng)

Do đó: \(\Delta IEF\) cân tại I (đpcm)

c) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\text{ΔABC cân tại A}\right)\\AE=AF\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}E\in AB\\F\in AC\end{matrix}\right.\left(gt\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AE+EB\\AC=AF+FE\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(BE=CF\left(AB-AE=AC-AF\right)\)

Xét \(\Delta EBI,\Delta FCI\) có:

\(BE=CF\left(cmt\right)\)

\(BI=IC\) (chứng minh câu a)

\(IE=IF\) (chứng minh câu b)

=> \(\Delta EBI=\Delta FCI\left(c.c.c\right)\)

* Có thể chứng minh câu c theo nhiều trường hợp khác nhé :

Ví dụ: Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh.

Answer 2

a) Xét \(\bigtriangleup ABC\)cân tại A có:

AI là đường cao (AI ⊥ BC)

=> AI đồng thời đường trung tuyến, đường phân giác của \(\bigtriangleup ABC\)

=> I là trung điểm của BC

b) Ta có: AI là đường phân giác của \(\bigtriangleup ABC\)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

Hay: \(\widehat{EAI}=\widehat{FAI}\)

Xét \(\bigtriangleup IEA\) và \(\bigtriangleup IFA\):

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} AE=AF(gt) & & & \\ \widehat{EAI}=\widehat{FAI}(cmt) & & & \\ AI:chung & & & \end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\bigtriangleup IEA=\bigtriangleup IFA(c.g.c)\)

=> IE = IF

=> \(\bigtriangleup IEF\) cân tại I

c) \(\bigtriangleup IEA=\bigtriangleup IFA\) (cmt)

=> \(\widehat{EIA}=\widehat{FIA}\)

Mà: \(\widehat{EIA}+\widehat{EIB}=90^{\circ}\)

......\(\widehat{FIA}+\widehat{FIC}=90^{\circ}\)

=> \(\widehat{EIB}=\widehat{FIC}\)

Xét \(\bigtriangleup EBI\) và \(\bigtriangleup FCI\):

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} IE=IF(cmt) & & & \\ \widehat{EIB}=\widehat{FIC}(cmt) & & & \\ BI=IC(cmt) & & & \end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\bigtriangleup EBI=\bigtriangleup FCI(c.g.c)\)