Cho tam giác ABC cân tại A. GỌi H,K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC
a) CM: tứ giác ABHK là hình thang
b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho H là trung điểm của cạnh AE. CM: tứ giác ABEC là hình thoi
c) Qua Avex đường thẳng vuông góc vói AH cắt tia HK tại D. CM: tứ giác ABHD là hình bình hành
d) CM: tứ giác ADCH là hình chứ nhật
e) Vẽ đường cao HN của tam giác AHB, gọi I là trung điểm của AN, trên tia đối của HB lấy điểm M sao cho B là trung điểm cạnh MH. CM: HN vuông HI
Lời giải:
a)
Vì $K$ là trung điểm $AC$, $H$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow \frac{CK}{CA}=\frac{CH}{CB}(=\frac{1}{2})$
Theo định lý Talet đảo suy ra $HK\parallel AB$
$\Rightarrow ABHK$ là hình thang
b)
Vì $ABC$ là tam giác cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AH$ đồng thời là đường cao
$\Rightarrow AH\perp BC$ hay $AE\perp BC$
Tứ giác $ABEC$ có 2 đường cao $AE, BC$ vuông góc với nhau tại trung điểm $H$ của mỗi đường nên $ABEC$ là hình thoi.
c)
$AD\perp AH, AH\perp BC\Rightarrow AD\parallel BC$
$\Rightarrow AD\parallel BH, AD\parallel CH$
Áp dụng định lý Talet:
$\frac{AD}{HC}=\frac{AK}{KC}=1$
$\Rightarrow AD=HC$. Mà $HC=HB$ nên $AD=HB$
Tứ giác $ABHD$ có cặp cạnh đối $AD\parallel BH$ và $AD=BH$ nên $ABHD$ là hình bình hành.
d)
Tương tự $ABHD$, ta hoàn toàn chứng minh được $ADCH$ là hình bình hành
Mà $AD\perp AH$ nên $\widehat{DAH}=90^0$
Hình bình hành $ADCH$ có 1 góc vuông nên là hình chữ nhật.
e) Trên tia đối của $HB$ lấy điểm $M$ thì làm sao $B$ là trung điểm $MH$ được bạn? Bạn xem lại đề.
