a) Xét \(\Delta\)ADB vuông tại D và \(\Delta\)AEC vuông tại E có
AB=AC(\(\Delta\)ABC cân tại A)
\(\widehat{A}\) chung
Do đó: \(\Delta\)ADB=\(\Delta\)AEC(cạnh huyền-góc nhọn)
\(\Rightarrow\)AD=AE(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AE+EB=AB(do A,E,B thẳng hàng)
AD+DC=AC(do A,D,C thẳng hàng)
mà AD=AE(cmt)
và AB=AC(\(\Delta\)ABC cân tại A)
nên EB=DC
Ta có: \(\Delta\)EIB vuông tại E(do \(IE\perp AB\))
nên \(\widehat{EIB}+\widehat{EBI}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(1)
Ta có: \(\Delta\)DIC vuông tại D(do \(ID\perp AC\))
nên \(\widehat{DIC}+\widehat{DCI}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EIB}+\widehat{EBI}=\widehat{DIC}+\widehat{DCI}\)
mà \(\widehat{EIB}=\widehat{DIC}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{EBI}=\widehat{DCI}\)
Xét \(\Delta\)EIB vuông tại E và \(\Delta\)DIC vuông tại D có
EB=DC(cmt)
\(\widehat{EBI}=\widehat{DCI}\)(cmt)
Do đó: \(\Delta\)EIB=\(\Delta\)DIC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
\(\Rightarrow\)EI=ID(hai cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta\)AEI và \(\Delta\)ADI có
AE=AD(cmt)
AI là cạnh chung
EI=ID(cmt)
Do đó: \(\Delta\)AEI=\(\Delta\)ADI(c-c-c)
\(\Rightarrow\widehat{EAI}=\widehat{DAI}\)(hai góc tương ứng)
mà tia AI nằm giữa hai tia AE,AD
nên AI là tia phân giác của \(\widehat{EAD}\)
hay AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(3)
Ta có: \(\Delta\)ABC cân tại A(gt)
mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(do M là trung điểm của BC)
nên AM cũng là đường phân giác ứng với cạnh BC(định lí tam giác cân)
\(\Rightarrow AM\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(4)
Ta lại có: AI và AM có điểm chung là A(5)
Từ (3) , (4) , (5) suy ra A,M,I thẳng hàng
+ Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
Xét 2 \(\Delta\) \(ABM\) và \(ACM\) có:
=> \(A,M,I\) thẳng hàng (đpcm).
Chúc bạn học tốt!
