Question

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC

a) CM: HB^2/HC^2=EB/FC

b) Tính HE, AH biết AE=16cm, BE=9cm

c) Đường phân giác của góc AHB cắt AB tại N. CM: 1/HA+1/HB=√2/HN

Answer 1

a) Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

mà AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)

nên AH là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(định lí tam giác cân)

⇔H là trung điểm của BC

\(\Leftrightarrow\frac{HB}{HC}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{HB^2}{HC^2}=1\)(1)

Xét ΔEBH vuông tại E và ΔFCH vuông tại F có

HB=HC(H là trung điểm của BC)

\(\widehat{EBH}=\widehat{FCH}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔEBH=ΔFCH(cạnh huyền-góc nhọn)

⇔EB=FC(hai cạnh tương ứng)

hay \(\frac{EB}{FC}=1\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{HB^2}{HC^2}=\frac{EB}{FC}\)

Answer 2

b)Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ∆BHA
                          có HE^2=BE.EA 
                             =>HE^2=9.16
                              =>HE=12cm

     Ta có: HE^2+EA^2=AH^2(pytago cho ∆HEA)
            =>12^2+16^2=AH^2
            =>AH=20cm