Lời giải:
a)
Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường cao $AD$ đồng thời là đường trung tuyến. Do đó $D$ là trung điểm $BC$
\(\Rightarrow MD\) là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $AC$
\(\Rightarrow MD\parallel AC\)
Mà \(BE\perp AC\Rightarrow MD\perp BE\) (đpcm)
b)
Xét tam giác $BHC$ có $D$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $HC$ nên $DN$ là đường trung bình của tam giác $BHC$ ứng với cạnh $BH$
\(\Rightarrow DN\parallel BH\parallel BE\). Mà theo phần a thì \(MD\perp BE\Rightarrow DN\perp MD\Rightarrow \widehat{MDN}=90^0(1)\)
Vì đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông thì bằng một nửa cạnh huyền nên:
\(ME=\frac{1}{2}AB; MD=\frac{1}{2}AB; ND=\frac{1}{2}HC; NE=\frac{1}{2}HC\)
\(\Rightarrow MD=ME; ND=NE\)
\(\Rightarrow \triangle MDN=\triangle MEN(c.c.c)\)
\(\Rightarrow \widehat{MEN}=\widehat{MDN}=90^0\)
\(\Rightarrow \widehat{MEN}+\widehat{MDN}=180^0\)
\(\Rightarrow MEND\) là tứ giác nội tiếp hay $M,N,D,E$ thuộc cùng một đường tròn.
