Violympic toán 7

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Yến Nhi

Cho tam giác ABC cân tại A, có cạnh BC là cạnh lớn nhất. Các đường trung tuyến AM và BN của tam giác ABC cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MG lấy điểm D sao cho M là trung điểm của đoạn GD.

1. Chứng minh ∆BMG = ∆CMD, từ đó chứng minh BG song song với CD.

2. Chứng minh 3CD = 2BN.

3. Chứng minh CN < CD

Nguyễn Lê Phước Thịnh
31 tháng 5 2020 lúc 12:04

1: Xét ΔBMG và ΔCMD có

BM=CM(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)

\(\widehat{BMG}=\widehat{CMD}\)(hai góc đối đỉnh)

GM=DM(M là trung điểm của GD)

Do đó: ΔBMG=ΔCMD(c-g-c)

\(\widehat{GBM}=\widehat{DCM}\)(hai góc tương ứng)

\(\widehat{GBM}\)\(\widehat{DCM}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên BG//DC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

2: Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)

BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)

AM\(\cap\)BN={G}

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(định lí ba đường trung tuyến của tam giác)

\(AG=\frac{2}{3}AM\)(tính chất)(1)

Ta có: AG+GM=AM(G nằm giữa A và M)

hay \(GM=AM-AG=AM-\frac{2}{3}AM=\frac{1}{3}AM\)

mà GD=2GM(M là trung điểm của GD)

nên \(GD=2\cdot\frac{1}{3}AM=\frac{2}{3}AM\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AG=GD

mà A,G,D thẳng hàng(A,G,M,D thẳng hàng)

nên G là trung điểm của AD

Xét ΔADC có

G là trung điểm của AD(cmt)

N là trung điểm của AC(BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC của ΔABC)

Do đó: GN là đường trung bình của ΔADC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒GN//DC và \(GN=\frac{DC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(3)

Ta có: G là trọng tâm của ΔABC(cmt)

\(GN=\frac{1}{3}BN\)(tính chất)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{DC}{2}=\frac{1}{3}BN\)

\(\frac{DC}{2}=\frac{BN}{3}\)

hay \(3\cdot CD=2\cdot BN\)(ddpcm)


Các câu hỏi tương tự
Trần Ninh Anh
Xem chi tiết
crewmate
Xem chi tiết
huyền
Xem chi tiết
Thao Dong Nguyen
Xem chi tiết
crewmate
Xem chi tiết
lưu tuấn anh
Xem chi tiết
Thảo Vy
Xem chi tiết
Trần Ngọc Danh
Xem chi tiết
ane k
Xem chi tiết