a) Vì K là điểm đối xứng với M qua I (gt).
=> \(I\) là trung điểm của \(MK.\)
Mà \(I\) là trung điểm của \(AC\left(gt\right).\)
=> 2 đường chéo \(AC\) và \(MK\) cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.
=> Tứ giác \(AMCK\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (1).
+ Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
Có \(AM\) là đường trung tuyến (gt).
=> \(AM\) đồng thời là đường cao của \(\Delta ABC.\)
=> \(AM\perp BC.\)
=> \(\widehat{AMC}=90^0\) (2).
Từ (1) và (2) => Hình bình hành \(AMCK\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).
b) Vì \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)
=> \(M\) là trung điểm của \(BC.\)
+ Xét \(\Delta ABC\) có:
\(I\) là trung điểm của \(AC\left(gt\right)\)
\(M\) là trung điểm của \(BC\left(cmt\right).\)
=> \(IM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)
=> \(IM\) // \(AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Hay \(AB\) // \(KM\left(đpcm\right).\)
c) Theo câu a) ta có \(AMCK\) là hình chữ nhật.
Để hình chữ nhật \(AMCK\) là hình vuông.
\(\Leftrightarrow AM=CM.\)
Mà \(BM=CM=\frac{1}{2}BC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\)).
=> \(AM=BM=CM=\frac{1}{2}BC.\)
=> \(AM=\frac{1}{2}BC.\)
+ Xét \(\Delta ABC\) có:
\(AM=\frac{1}{2}BC\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (trong một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông).
Mà \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A.\)
Vậy để hình chữ nhật \(AMCK\) là hình vuông thì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A.\)
Chúc bạn học tốt!
