Cho tam giác ABC vuông tại A và D là trung điểm BC. Gọi M là điểm đối xứng của D qua AB. E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng của D qua AC, F là giao điểm của DN và AC
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao
b) ADBM là hình gì? Vì sao
c) Chứng minh M đối xứng với N qua A
d) Tam giác vuông ABC cần có thêm điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông?
a: Ta có: D và M đối xứng nhau qua AB
nên AB là đường trung trực của MD
=>AB vuông góc với MD tại trung điểm của MD
=>E là trung điểm của MD
=>AD=AM
=>ΔADM cân tại A
mà AB là đường cao
nên AB là phân giác của góc DAM(1)
Ta có: D và N đối xứng nhau qua AC
nên AC là đường trung trực của DN
=>AC vuông góc với DN tại trung điểm của DN
=>F là trung điểm của DN
=>ΔAND cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là phân giác của góc DAN(2)
Xét tứ giác AEDF có \(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=\widehat{FAE}=90^0\)
nên AEDF là hình chữ nhật
b: Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DE//AC
Do đó: E là trung điểm của AB
Xét tứ giác ADBM có
E là trung điểm của AB
E là trung điểm của MD
Do đó: ADBM là hình bình hành
mà DA=DB
nên ADBM là hình thoi
c: Từ (1)và (2) suy ra \(\widehat{MAN}=2\cdot90^0=180^0\)
=>M,A,N thẳng hàng
mà AM=AN
nên A là trung điểm của MN
