Question

Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, MN. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh rằng : MI = IK = KN.

Answer 1

XétΔABC có 

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: ED là đường trung bình

=>ED//BC và ED=BC/2

Xét hình thang BEDC có 

M là trung điểm của EB

N là trung điểm của DC

Do đó: MN là đường trung bình

SUy ra: MN//ED//BC và \(MN=\dfrac{1}{2}\left(ED+BC\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}BC+BC\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}BC=\dfrac{3}{4}BC\)

Xét ΔBED có MI//ED

nên \(\dfrac{MI}{ED}=\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{1}{2}\)

hay MI=1/4BC

Xét ΔCED có KN//ED
nên KN/ED=CN/CD=1/2

=>KN=1/4BC

Ta có: MI+IK+KN=MN

nên IK=1/4BC

=>MI=IK=KN