Question

1. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh rằng MI = IK = KN

Answer 1

Đặt BC=a

Vì △ABC có AE bằng AB, AD=DC nên ED là đường trung bình, do đó ED//BC và \(ED=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}\)

Do MN là đường trung bình của hình thang BEDC nên MN // ED // BC.

△BED có BM=ME, MI // ED nên MI là đường trung bình, \(MI=\dfrac{ED}{2}=\dfrac{a}{4}\)

△CED có CN = CD, NK // ED nên NK là đường trung bình, \(NK=\dfrac{ED}{2}=\dfrac{a}{4}\)

△EBC có EM = MB, MK // BC nên MK là đường trung bình, \(MK=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}\)

Suy ra IK = MK - MI = \(\dfrac{a}{2}-\dfrac{a}{4}=\dfrac{a}{4}\)

Suy ra MI = IK = KN

Answer 2

Hình bạn tự vẽ nha:

Có E là trung điểm của AB

D_______________AC

=> ED là đường TB của ΔABC

=>ED//BC và ED=1/2BC

=>Tứ giác DEBC là hình thang

Lại có M là trung điểm của EB

N_______________DC

=>MN là đường TB của hình thang EBCD

=>MN//ED và MN=(BC+DE)/2

=>MI//ED và NK//ED

Lại có M là trung điểm của EB và N là trung điểm của DC

=>I là trung điểm của BD và K là trung điểm của CE

=>MI là đường TB của ΔBED và NK là đường TB của ΔCED

=> MI=1/2ED và NK=1/2ED(1)

Lại có MN=(BC+DE)/2

=> MI+IK+KN=(BC+DE)/2

Mà MI=1/2ED và NK=1/2ED

=> IK+ ED=(BC+DE)/2

=> IK+ED=(2ED+ED)/2

=>IK+ED=3ED/2

=> IK=1/2ED(2)

Từ (1);(2)=> MI=IK=KN