Question

cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh rằng MI=IK=KN

Answer 1

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: ED là đường trung bình

=>ED//BC và ED=BC/2
Xét hình thang BEDC có

M là trung điểm của EB

N là trug điểm của DC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//ED//BC và \(MN=\dfrac{1}{2}\left(ED+BC\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}BC=\dfrac{3}{4}BC\)

Xét ΔBED có MI//ED

nên \(\dfrac{MI}{ED}=\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow MI=\dfrac{1}{4}BC\)(1)

Xét ΔCED có KN//ED
nên \(\dfrac{KN}{ED}=\dfrac{CN}{CD}=\dfrac{1}{2}\)

=>KN=1/4BC(2)

Ta có: MI+IK+KN=MN

nên IK=1/4BC(3) 

Từ (1), (2) và (3) suy ra MI=IK=KN