Cho tam giác ABC( AB < AC), đường cao AK. gọi D, E,F theo thứ tự là trung điểm của AB, AC,Bc
a) Tứ giác BDEF là hình gì? Vì sao?
b) CM tứ giác DEKF là hình thang cân
c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. M,N,P là trung điểm của HA,HB,HC. CM các đoạn thẳng MF, NE, PD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
a) Xét ΔABC có
D là trung điểm của AB(gt)
E là trung điểm của AC(gt)
Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇔DE//BC và \(DE=\frac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà \(BF=FC=\frac{BC}{2}\)(F là trung điểm của BC)
nên DE=BF=FC
Xét tứ giác DEFB có DE//BF(DE//BC, F∈BC) và DE=BF(cmt)
nên DEFB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Xét ΔBAC có
D là trung điểm của AB(gt)
F là trung điểm của BC(gt)
Do đó: DF là đường trung bình của ΔBAC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇔DF//AC và \(DF=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Xét ΔAKC vuông tại K có KE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(E là trung điểm của AC)
nên \(KE=\frac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)
Từ (1) và (2) suy ra DF=KE
Xét tứ giác DEKF có KF//DE(BF//DE, K∈BF)
nên DEKF là hình thang(Định nghĩa hình thang)
Hình thang DEKF có DF=KE(cmt)
nên DEKF là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)(đpcm)
