Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Chi

Cho Sk=\(\left(\sqrt{2}+1\right)^k+\left(\sqrt{2}-1\right)^k\)với k\(\in\)N. Cmr: S2009.S2010-S4019=2\(\sqrt{2}\)

Làm ơn giúp mình đi !!!

Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 9 2019 lúc 18:52

Đặt \(\sqrt{2}+1=a\Rightarrow\sqrt{2}-1=\frac{1}{a}\)

\(\Rightarrow S_k=a^k+\frac{1}{a^k}\) ; \(S_{k+1}=a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}\) ;

\(S_1=a+\frac{1}{a}=\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow S_k.S_{k+1}=\left(a^k+\frac{1}{a^k}\right)\left(a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}\right)\)

\(=a^k.a^{k+1}+\frac{a^k}{a^{k+1}}+\frac{a^{k+1}}{a^k}+\frac{1}{a^k.a^{k+1}}\)

\(=a^{2k+1}+\frac{1}{a^{2k+1}}+a+\frac{1}{a}\)

\(=S_{2k+1}+S_1=S_{2k+1}+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow S_k.S_{k+1}-S_{2k+1}=2\sqrt{2}\)

Thay \(k=2009\) vào ta được:

\(S_{2009}.S_{2010}-S_{4019}=2\sqrt{2}\) (đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Vũ Bùi Trung Hiếu
Xem chi tiết
Phương Thảo
Xem chi tiết
Han Sara
Xem chi tiết
Quynh Existn
Xem chi tiết
Nhật Hạ
Xem chi tiết
Linh Nhi
Xem chi tiết
Trần Minh Anh
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Đinh Ngân Yến
Xem chi tiết