Question

cho phương trình x^2 -(m-1)x-m^2+m-2=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x1^2+x2^2, trong đó x1,x2 là 2 nghiệm của pt

Answer 1

Theo hệ thức vi-et ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=-m^2+m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(m-1\right)^2-2\left(-m^2+m-2\right)\)

\(=m^2-2m+1+2m^2-2m+4\)

\(=3m^2-4m+5\)

\(=3\left[\left(m^2-\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}\right)+\frac{11}{9}\right]\)

\(=3\left(m-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{33}{9}\ge\frac{33}{9}=\frac{11}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(\frac{11}{3}\) khi \(m=\frac{2}{3}\)