Question

Cho phương trình \(x^2-2mx+m-2=0\left(1\right)\)

a) Chứng minh rằng PT luôn luôn có hai nghiệm với phân biệt với mọi m.

b) Gọi \(x_1,x_2\) là các nghiệm của phương trình\(\left(1\right)\).Tìm \(m\) để biểu thức \(M=\dfrac{-24}{x_1^2+x^2_2-6x_1x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

pt (1) có \(\Delta'\)= (-m)²-m+2= m²-2.\(\dfrac{1}{2}\).m + \(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\)+2 = ( m-\(\dfrac{1}{2}\))²+\(\dfrac{7}{4}\)

nhận thấy : ( m-\(\dfrac{1}{2}\))² \(\ge\)0\(\forall\)m

==> ( m-\(\dfrac{1}{2}\))²+\(\dfrac{7}{4}\)\(\ge\)\(\dfrac{7}{4}\)>0

==> \(\Delta'\)>0 ==> pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

theo hệ thức vi ét ta có :\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m\\x1.x2=-2\end{matrix}\right.\)(2)

mà M=\(\dfrac{-24}{x1^2+x2^2-6x1x2}=\dfrac{-24}{\left(x1+x2\right)^2-8x1.x2}\)

thay (2) vào M ta đc M=\(\dfrac{-24}{\left(2m\right)^2-8\left(m-2\right)}=\dfrac{-24}{4m^2-8m+16}=\dfrac{-24}{\left(4m^2-8m+4\right)+12}=\dfrac{-24}{\left(2m-2\right)^2+12}\)

nhận thấy (2m-2)²+12 \(\ge\)12

==> M \(\ge\)-2

dấu ''=,, xảy ra <=> m=1

vậy.......................