Question

Cho phương trình: \(x^2-2mx+m-2=0\).
a. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b. Tìm m để 2 nghiệm x₁;x₂ thỏa mãn: \(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x_1^2+x_2^2+2\)

Answer 1

a. Có : \(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m-2\right)\)

=\(4m^2-4m+8\)

=​\(4\left(m-1\right)^2+4>0\forall m\in R\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Thầy ơi, tại sao em không dùng được hộp gõ công thức trực quan vậy thầy, nó cứ nhảy xuống không?

Answer 2

b) Ta có phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

theo định lí Vi-ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2m}{1}=2m\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-2}{1}=m-2\end{matrix}\right.\)

Ta lại có \(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x^2_1+x^2_2+2\Leftrightarrow2-x_2+2x_1-x_1x_2+2-x_1+2x_2-x_1x_2=x_1^2+x_2^2+2\Leftrightarrow2+x_1+x_2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\Leftrightarrow2+2m=\left(x_1+x_2\right)^2\Leftrightarrow2+2m=4m^2\Leftrightarrow2m^2-m-1=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(2m+1\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy m=1 hoặc m=\(-\frac{1}{2}\) thì 2 nghiệm x₁,x₂ thoảm mãn \(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x^2_1+x^2_2+2\)