Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R). Vẽ cát tuyến MAB (A nằm giữa M và B). Các tiếp tuyến tại A, B của (O) cắt đường thẳng qua M vuông góc với OM lần lượt tại C và D. Chứng minhL M là trung điểm CD.

Cho phương trình: \(x^2-2mx+m-2=0\).
a. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b. Tìm m để 2 nghiệm x₁;x₂ thỏa mãn: \(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x_1^2+x_2^2+2\)

Cho phương trình \(x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-m-1=0.\)(Với m là tham số). Chứng minh rằng: nếu phương trình trên có nghiệm x₁x₂ thì \(2\left(mx_1+x_2\right)\le\) \(m^2-1+2x_1^2+x_2^2\)

\(\dfrac{1}{x^2-2x+2}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x^2+2x+2}.\)

Đặt a=\(\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\)

Chứng minh rằng: \(\dfrac{64}{\left(a^2-3\right)^3}-3\) là số nguyên

Xét các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{\left(a^2+1\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{\left(b^2+1\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{\left(c^2+1\right)\left(a+b\right)}\)

Cho x,y,z,t là bốn số dương nhỏ hơn 1 thỏa mãn điều kiện: xyzt=(1−x)(1−y)(1−z)(1−t). CMR: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge1\)