Cho:
\(x^2\) - 2(m+2)x + 6m+3 = 0. (a = 1; b = -2(m+2) ; c=6m+3)
\(\left\{{}\begin{matrix}1\ne0\left(1\right)\\\Delta\ge0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)(luôn đúng)
Giải (2):
\(\)\(\left[-2\left(m+2\right)\right]^2\) - 4.1.(6m+3) ≥ 0
4(\(m^2+2m+1\)) - 4(6m+3) ≥ 0
\(4m^2+8m+4\)- 24m - 12 ≥ 0
4\(m^2\)-16m-8 ≥ 0
(\(4m^2-16m-8\)) : 4 ≥ 0 : 4
\(m^2\) - 4m - 2 ≥ 0
△ = \(b^2-4.a.c=\) \(\left(-4\right)^2\) - 4 .1.(-2) = 16 + 8 = 24
⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{24}}{2.1}=\frac{4-2\sqrt{6}}{2}\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{24}}{2.1}=\frac{4+2\sqrt{6}}{2}\)
⇒ \(\frac{4+2\sqrt{6}}{2}\ge m\ge\frac{4-2\sqrt{6}}{2}\).
\(\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(6m+3\right)=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\) \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
