Gọi \(x_1;x_2\in\left(0;1\right)\) là hai nghiệm của phương trình đã cho
\(\Rightarrow f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)
Vì \(a,b,c\) là các số nguyên
\(a>0\Rightarrow f\left(0\right)=c=ax_1x_2;f\left(1\right)=a+b+c=a\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right)\) là các số nguyên dương
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)=a^2.x_1x_2\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right)\ge1\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x_1\left(1-x_1\right)\le\frac{1}{4};x_2\left(1-x_2\right)\le\frac{1}{4}\Rightarrow x_1x_2\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right)< \frac{1}{16}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow1< a^2.x_1x_2\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right)< \frac{a^2}{16}\Rightarrow a^2>16\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a>4\\a< -4\end{matrix}\right.\)
Vì \(a\) nguyên dương nên \(a\ge5\)
\(\Rightarrow Mina=5\)
