\(x=1+\sqrt{2}\) là nghiệm nên:
\(a\left(1+\sqrt{2}\right)^2+b\left(1+\sqrt{2}\right)+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3+2\sqrt{2}\right)a+b+b\sqrt{2}+c=0\)
\(\Leftrightarrow3a+b+c=-\sqrt{2}\left(2a+b\right)\)
Vế trái hữu tỉ, vế phải vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}3a+b+c=0\\2a+b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+b+c=0\\b=-2a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-2a+c=0\\b=-2a\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-a\\b=-2a\end{matrix}\right.\)
Thay vào pt ban đầu: \(ax^2-2ax-a=0\Leftrightarrow x^2-2x-1=0\)
Nghiệm còn lại là \(x=1-\sqrt{2}\)
