Question

Cho phương trình \(2x^2-\left(m+3\right)x+m=0\) (m là tham số)

Chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m . Gọi \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left|x_1-x_2\right|\)

Answer 1

\(\Delta=\left(m+3\right)^2-8m=m^2-2m+9=\left(m-1\right)^2+8>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm pb

Theo Viet ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{m+3}{2}\\x_1x_2=\frac{m}{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=\left|x_1-x_2\right|\ge0\)

\(\Leftrightarrow A^2=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow A^2=\left(\frac{m+3}{2}\right)^2-\frac{4m}{2}\)

\(\Leftrightarrow4A^2=m^2-2m+9\)

\(\Leftrightarrow4A^2=\left(m-1\right)^2+8\ge8\)

\(\Rightarrow A^2\ge2\Rightarrow A\ge\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A_{min}=\sqrt{2}\) khi \(m=1\)