Đặt \(t=\sqrt{x}-1\) ta có \(t>0,\left(\forall x>1\right)\) và \(\sqrt{x}=t+1;x=t^2+2t+1\) từ đó
\(P=\dfrac{t^2+3t+3}{t}=3+\left(t+\dfrac{3}{t}\right)\ge3+2\sqrt{t.\dfrac{3}{t}}=3+2\sqrt{3}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{{}\begin{matrix}t>0\\t=\dfrac{3}{t}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow t=\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow x=4+2\sqrt{3}\)
Vậy \(minP=3+2\sqrt{3}\)
\(P=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{x-1+\sqrt{x}-1+1+2}{\sqrt{x}-1}\)
\(P=\sqrt{x}-1+\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}+3\)
với x >1 => \(\sqrt{x}-1>0;\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}>0\)
áp cô si cho 2 số dươg
\(P\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right).\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}}+3=2\sqrt{3}+3\)
đẳng thức khi \(\sqrt{x}-1=\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\)
\(\sqrt{x}-1=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=4+2\sqrt{3}\)thỏa mãn đk của x
kết luận
GTNN \(3+2\sqrt{3}\)
