Gọi tiếp tuyến (P) có pt \(y=ax+b\)
d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi pt hoành độ giao điểm có nghiệm kép:
\(\frac{1}{2}x^2=ax+b\Leftrightarrow x^2-2ax-2b=0\)
\(\Delta'=a^2+2b=0\Rightarrow b=-\frac{a^2}{2}\)
\(\Rightarrow y=ax-\frac{a^2}{2}\Leftrightarrow a^2-2ax+2y=0\)
Gọi \(S\left(x_S;y_S\right)\), do \(d\) qua \(S\) nên ta có:
\(a^2-2ax_S+2y_S=0\) (1)
Nghiệm a của (1) chính là hệ số góc của tiếp tuyến (P) qua S, vậy từ S kẻ được 2 tiếp tuyến với (P) và vuông góc với nhau khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt \(a_1\) ; \(a_2\) thỏa mãn \(a_1a_2=-1\) (hai đường thẳng vuông góc thì tích hệ số góc bằng -1)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_S^2-2y_S>0\\2y_S=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y_S=-\frac{1}{2}\)
Vậy tập hợp điểm S là đường thẳng \(y=-\frac{1}{2}\)
