a: Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAEB vuông tại E
Xét tứ giác BEFI có
\(\widehat{BEF}+\widehat{BIF}=180^0\)
Do đó: BEFI là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔACE và ΔAFC có
\(\widehat{CAF}\) chung
\(\widehat{AEC}=\widehat{ACF}\)
Do đó: ΔACE\(\sim\)ΔAFC
Suy ra: \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AF}\)
hay \(AE\cdot AF=AC^2\)
Do E thuộc đường tròn \(\Rightarrow\widehat{AEB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{AEB}=90^0\)
Lại có \(\widehat{FIB}=90^0\) (do \(CD\perp AB\) tại I)
\(\Rightarrow\) E và I cùng nhìn BF dưới 1 góc vuông
\(\Rightarrow\) Tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF
b.
Xét hai tam giác vuông AIF và AEB có: góc \(\widehat{IAF}\) chung
\(\Rightarrow\Delta_VAIF\sim\Delta_VAEB\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\Rightarrow AI.AB=AE.AF\) (1)
Mặt khác \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow\Delta ACB\) vuông tại C
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ACB với đường cao CI:
\(AC^2=AI.AB\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow AE.AF=AC^2\)
